Bishop Gregory (hgr) wrote,
Bishop Gregory
hgr

Categories:

из книжки



  1. Выбор без выбирания

«Выбор без выбирания», который изначально был у Христа, и к которому приходят в обожении люди, представлял для античности сложную, но не вовсе уж нерешаемую логическую проблему. На уровне логики она была очень близка проблеме субъектности, которая обсуждалась не просто чаще, но и глубже. Мы к ней и перейдем, но не сразу, а сказав сначала несколько слов о выборе без выбирания.
Можно ли выбирать, когда есть только одна возможность? Мы уже слышали и от Аристотеля, и от подавляющего большинства современных логиков, что нельзя. Но рассмотрим такую ситуацию. Петя подошел к вазе с яблоками, чтобы выбрать себе яблоко. Яблок там оказалось два, и он выбрал одно. После этого уже Ваня подошел к той же вазе с той же целью выбрать себе яблоко — но увидел там только одно яблоко, которое он и взял. Наконец, к той же вазе и с той же целью подошел Вася, и не увидел там ни одного яблока и, увы, ничего не взял.
Петя совершил выбор в хорошо известном смысле этого слова. В этом же, «аристотелевском», смысле ни Ваня, ни Вася выбора не совершали. Оба были настроены на выбор, и ни одному из них не удалось повыбирать. У них должно было быть одинаково испорченное настроение от такой неудачи — по крайней мере, если верить классической логике. У каждого из них было желание выбрать яблоко, и оно оказалось фрустрировано. Житейской опыт, однако, не располагает нас в этом случае верить классической логике. Конечно, хорошо, когда есть большой выбор яблок. Не так уж плохо, если можно выбирать хотя бы из двух. Нехорошо, когда яблок нет вообще. А большой выбор лучше малого выбора. Но ведь одно яблоко лучше, чем ничего? Не говорит ли нам наша интуиция, что и одно яблоко — очень маленький, но все-таки выбор?
Разумеется, это рассуждение психологическое, а поэтому логически нестрогое. Мы не могли в нашем мысленном эксперименте исключить интерференцию желания повыбирать и желания просто-напросто получить яблоко. Переведем его в более строгую форму, которая будет соответствовать идеальным Пете, Ване и Васе, — таким, что для них весь смысл в самой операции выбора, а яблоки как таковые им безразличны.
Пусть у нас выбор из n возможностей: a1, a2, … , an. В совокупности эти возможности составляют множество возможностей W = {a1, a2, … , an}. При n = 0 это множество будет пустым: никаких возможностей нет, выбирать не из чего. Ничто не мешает нам рассмотреть такой случай, когда n = 1, а W = {a}; такое множество, имеющее всего один элемент, называется синглетоном. При современных формализациях деонтических логик подобный случай исключается дополнительным правилом, которое следует не из логического формализма, а из личных убеждений логиков. Но если не иметь предвзятых убеждений, то нет нужды исключать синглетоны как вид множества возможностей.
Теперь мы можем строго логически объяснить, чем яблоко, оставшееся одиноко лежать после Пети, отличалось от яблока, к которому подошел Ваня. Петя подходил к вазе, представлявшей собой множество W при n = 2: W = {a1, a2}. Оба яблока были элементами множества W — и то яблоко, которое Петя забрал, и то, которое он оставил. Но Ваня подошел к вазе, которая представляла собой уже совершенно иное множество W — при n = 1. Единственное яблоко было в ней полноценным множеством-синглетоном. Оно было одновременно множеством и элементом множества. В качестве множества оно было множеством возможностей, из которых мог осуществляться выбор.
Кто знаком с дискуссиями в области базовых проблем математической логики, тот уже понял, в какие дебри мы зашли. Для остальных поясню: понятие множества, состоящего из одного члена, — внутренне противоречиво: сама идея множества предполагает многое, а не единственное. Из многого можно вычесть все элементы и получить пустое множество; это не приведет к противоречиям. Но понятие множества из одного элемента к противоречиям приводит. Отношения синглетона как множества со своим единственным элементом не поддаются описанию в классической логике: они внутренние или внешние? Если и то, и другое, то каким образом это совмещается? А если ни то, ни другое — то что тогда это вообще?
На это впервые указал в 1916 году выдающийся польский логик Станислав Лесьневски (Stanisław Leśniewski, 1886–1939), который стал основателям влиятельного направления математической логики — мереологии (от μέρος «часть»), противостоящей теориям множеств[i]. В мереологии любое целое — это просто сумма его частей. В мереологии тождество Ваниного яблока яблоку, оставшемуся после Пети, было бы гарантировано. Но математики не любят мереологию, а полюбили теории множеств.
В теориях множеств гордиев узел синглетона не разрубается так решительно, а обходится. В самой популярной теории множеств Цермело-Френкеля (1908–1921) просто заявляется (с помощью пары аксиом), что синглетонам — быть, а возникающие тут логические проблемы «обходятся» в самом буквальном смысле слова[ii]. В другой популярной теории множеств (New Foundations Куайна, 1937) проблема синглетона честно отсекается заявлением а = {a} (определение так называемого атома Куайна: множество из одного элемента идентично этому элементу); так, по факту, обращаются с теорией множеств и многие нематематики (например, физики), прибегающие к услугам математики. Яблоко, оставшееся после Пети, стало бы для Вани атомом Куайна, но оставалось бы тождественным самому себе. Зато в теории Цермело-Френкеля на различии между «яблоком после Пети» и «яблоком Вани» можно было бы настаивать, но было бы невозможно объяснить, в чем оно состоит[iii].
Но если не бегать от противоречий и особенно если понимать, что природа без них не обходится, то можно построить неконсистентную деонтическую логику, где понятие выбора без выбирания, или, что то же самое, выбора из только одной возможности, будет иметь смысл, вполне отличный от ситуации отсутствия выбора. Основы такой логики проработаны в византийской патристике, и мы их уже рассмотрели. Задача формального построения соответствующих деонтических операторов весьма интересна, но выходит за рамки нашей темы[iv]. А мы остановились так подробно на логике выбора без выбирания только для того, чтобы лучше понять, кто является субъектом такого выбора, — кто таков тот, кто выбирает без выбирания. Для этого нам будет необходимо осознавать те противоречия, с которыми связано понятие синглетона. Ведь — забежим немного вперед — понятие «Я» — это тоже синглетон, то есть единственный элемент своего класса или множества.



[i] В наше время наиболее известные обоснования мереологии предложил один из крупнейших современных философов и логиков Дэвид Льюис (David Kellogg Lewis, 1941–2001). См:. David Lewis, Parts of Classes, Oxford: Blackwell, 1991, pp. 29–59 (подробное обсуждение логических проблем синглетона и критика всех предлагавшихся путей их решения); idem, Mathematics is megethology, in: idem, Papers in philosophical logic (Cambridge studies in philosophy), Cambridge: Cambridge UP, 1998, pp. 203–229.
[ii] Синглетон полагается возможным как частный случай пары, т.е. множество из одного элемента определяется через множество из двух элементов. Пара является множеством согласно аксиоме пары (она о том, что из любых двух множеств можно образовать новое множество, которым станет их пара); если эти множества идентичны, то есть если образовать пару из множества и его самого, то, согласно аксиоме экстенсиональности (той самой аксиоме, которая, например, не допускает существования чисел одинаковой величины, но при этом разных, то есть она требует, чтобы число 2 всегда было одним и тем же числом 2, запрещая 2 ≠ 2), получится множество, которое включает первое множество не два раза, а один: {a, a} = {a}. Эта схема построения синглетона не позволяет даже упоминать о том, что же означает быть элементом такого множества.
[iii] Читатель может сам проделать такое упражнение. Множество {яблоко после Пети, яблоко Вани} упрощается до множества-синглетона {интересующее нас яблоко} согласно входящей в теорию Цермело-Френкеля аксиоме экстенсиональности и исходя из предположения, что речь идет об одном и том же яблоке. Но само множество из двух одинаковых элементов допускается в этой теории только на основании аксиомы пар, а эта аксиома определена только на множествах, а не на их элементах. Поэтому мы должны были изначально рассматривать образование пары из синглетонов {яблоко после Пети}, {яблоко Вани}. Но теория Цермело-Френкеля не может объяснить, откуда синглетоны берутся первоначально, то есть как они конструируются из своих единственных элементов. Понятие синглетона в этой теории существует, но оно определяется автореферентно, хотя сама теория запрещает автореферентность и специально разрабатывалась для исключения из теории множеств одного из парадоксов автореференции — парадокса Рассела (открытого — хотя и не опубликованного — еще раньше Рассела как раз Цермело). Парадокс Рассела указывает на противоречивость понятия самого большого множества — множества всех множеств, — которое должно, по определению, включать в себя и самоё себя. Но на противоположном конце иерархии множеств — там, где находится синглетон — опять всплывает автореференция.
[iv] По понятным причинам, неконсистентная деонтическая логика разрабатывается в области конфликтов норм (и эта логика параконсистентная, то есть допускающая субконтрарные противоречия); ср. пионерскую статью: Newton C. da Costa, Walter Cornielli, Paraconsistent Deontic Logic, Philosophia 16 (1986) 293–305, а также: Marcelo E. Coniglio, Newton M. Peron, A Paraconsistent Approach to Chisholm’s Paradox, Principia 13 (2009) 299–326 (с указанной там библиографией). О неконсистентном подходе к формализации «логики Бога» (в духе молинизма) см.: Peña, Le choix de Dieu. О выборе между параконсистентной и консистентной логикой при принятии решений в неясных ситуациях см. основанное на экспериментальном психологическом материале исследование: D. Ripley, Contradictions at the borders, in: R. Nouwen, R. van Rooij, U. Sauerland, H.-Ch. Schmitz (eds), Vagueness in Communication. International Workshop, ViC 2009 held as part of ESSLLI 2009. Bordeaux, France, July 20-24, 2009. Revised Selected Papers (Lecture Notes in Artificial Intelligence, 6517; Dordrecht etc.: Springer, 2011), 169–188; согласно экспериментальным данным, у людей западной культуры воспитано некое отвращение от мышления противоречиями, тогда как китайцы довольно легко ориентируются в противоречивой реальности. Формализация проблемы «выбора из одного» потребовала бы, на мой взгляд, создания паракомплектной деонтической логики (допускающей AA) и, возможно, диалетической (допускающей А = не-А).
Tags: drafts
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments